La Matematica Nella Prima Stagione

Il principio di Heisenberg

Nella fisica quantistica, il principio di indeterminazione di Heisenberg stabilisce che:

« non è possibile conoscere simultaneamente posizione e quantità di moto di un dato oggetto con precisione arbitraria »

inoltre quantifica esattamente l'imprecisione. È una delle chiavi di volta della meccanica quantistica e venne formulato da Werner Heisenberg nel 1927. Il principio non si applica soltanto alla posizione e alla quantità di moto, ma a qualsiasi coppia di variabili canonicamente coniugate. Nelle formulazioni moderne della meccanica quantistica il principio non è più tale ma è un teorema facilmente derivabile dai postulati. In generale, qualunque coppia di grandezze osservabili generiche, che non siano nella relazione di essere compatibili, non si potranno misurare simultaneamente, se non a prezzo di indeterminazioni l'una tanto più grande quant'è più piccola l'altra.

L'ipotesi di Riemann

L'ipotesi o congettura di Riemann è una congettura sulla distribuzione degli zeri nella funzione zeta di Riemann ? Essa fu formulata la prima volta dal matematico di Gottinga Bernhard Riemann nel 1859. La sua dimostrazione risulta tuttora uno dei principali problemi aperti della matematica e figura nella lista dei sette Millennium Problems, per la soluzione di ciascuno dei quali il Clay Mathematics Institute ha offerto un premio da un milione di dollari. Sebbene la maggior parte dei matematici ritenga l'ipotesi di Riemann vera, vi sono alcune eccezioni, come quelle notevoli di J. E. Littlewood e Atle Selberg.

Paradosso del gatto di Schrödinger

Il paradosso del gatto di Schrödinger è un esperimento mentale ideato da Erwin Schrödinger allo scopo di dimostrare come quella che era l'interpretazione classica della meccanica quantistica risulta essere incompleta quando deve descrivere sistemi fisici in cui il livello subatomico interagisce con il livello macroscopico.

« Si possono anche costruire casi del tutto burleschi. Si rinchiuda un gatto in una scatola d’acciaio insieme con la seguente macchina infernale (che occorre proteggere dalla possibilità d’essere afferrata direttamente dal gatto): in un contatore Geiger si trova una minuscola porzione di sostanza radioattiva, così poca che nel corso di un’ora forse uno dei suoi atomi si disintegra, ma anche in modo parimenti verosimile nessuno; se ciò succede, allora il contatore lo segnala e aziona un relais di un martelletto che rompe una fiala con del cianuro. Dopo avere lasciato indisturbato questo intero sistema per un’ora, si direbbe che il gatto è ancora vivo se nel frattempo nessun atomo si fosse disintegrato. La prima disintegrazione atomica lo avrebbe avvelenato. La funzione ? dell’intero sistema porta ad affermare che in essa il gatto vivo e il gatto morto non sono stati puri, ma miscelati con uguale peso»

Dopo un certo periodo di tempo, quindi, il gatto ha la stessa probabilità di essere morto quanto l'atomo di essere decaduto. Visto che fino al momento dell'osservazione l'atomo esiste nei due stati sovrapposti, il gatto resta sia vivo sia morto fino a quando non si apre la scatola, ossia non si compie un'osservazione.

Teoria delle finestre rotte

Con l'espressione teoria delle finestre rotte si indica quella particolare forma di gestione del territorio secondo cui non vengono tollerate le piccole trasgressioni che, se trascurate (e non corrette e/o sanzionate subito), potrebbero generare fenomeni di emulazione. La teoria proviene dall'esempio - appunto - della finestra rotta: se in un quartiere un teppista spacca una finestra, e nessuno la aggiusta, è molto probabile che ben presto qualcun altro faccia lo stesso se non peggio, dando così inizio ad una spirale distruttiva. Estratto da "http://it.wikipedia.org/wiki/Teoria_delle_finestre_rotte".

Teoria dei giochi

La teoria dei giochi è la scienza matematica che analizza situazioni di conflitto e ne ricerca soluzioni competitive e cooperative tramite modelli, ovvero uno studio delle decisioni individuali in situazioni in cui vi sono interazioni tra i diversi soggetti, tali per cui le decisioni di un soggetto possono influire sui risultati conseguibili da parte di un rivale, secondo un meccanismo di retroazione. Le applicazioni e le interazioni della teoria sono molteplici: dal campo economico e finanziario a quello strategico-militare, dalla politica alla sociologia, dalla psicologia all'informatica, dalla biologia allo sport, introducendo l'azione del caso, connessa con le possibili scelte che gli individui hanno a disposizione per raggiungere determinati obiettivi.

Dilemma del prigioniero

Il dilemma del prigioniero è un gioco ad informazione completa proposto negli anni '50 da Albert Tucker come problema di teoria dei giochi. Oltre ad essere stato approfonditamente studiato in questo contesto, il "dilemma" è anche piuttosto noto al pubblico non tecnico come esempio di paradosso. Il dilemma può essere descritto come segue. Due criminali vengono accusati con prove indiziarie di aver compiuto una rapina. Gli investigatori li arrestano entrambi per il reato di favoreggiamento e li chiudono in due celle diverse impedendo loro di comunicare. A ognuno di loro vengono date due scelte: confessare l'accaduto, oppure non confessare. Viene inoltre spiegato loro che:

a) se solo uno dei due confessa, chi ha confessato evita la pena; l'altro viene però condannato a 7 anni di carcere.
b) se entrambi confessano, vengono entrambi condannati a 6 anni.
c) se nessuno dei due confessa, entrambi vengono condannati a 1 anno.
Facendo il minimax e il maximin si scopre che il punto di equilibrio è, controintuitivamente, (confessa, confessa). Il motivo è che per ognuno dei due lo scopo è minimizzare la propria condanna; e ogni prigioniero
confessando: rischia 0 o 6 anni
non confessando: rischia 1 o 7 anni
Il paradosso che consegue da questa conclusione sta nel fatto che anche l'altro prigioniero, trovandosi nella stessa situazione, farà lo stesso ragionamento; con un risultato complessivo che non è ottimale per nessuno dei due (6 anni di carcere a testa).